Square Root of Numbers

Square Root of Numbers  गणित में, संख्या x का एक वर्गमूल एक संख्या y होता है जैसे कि y2 = x; दूसरे शब्दों में, एक संख्या y जिसका वर्ग (स्वयं द्वारा संख्या को गुणा करने का परिणाम, या yy) x है।

वास्तव में कैलकुलेटर के बिना वर्गाकार जड़ों को खोजने का एक तरीका है। यह तथाकथित “अनुमान और जांच” विधि है जहां आप मूल रूप से अनुमान लगाते हैं। यदि आपको 30 के वर्गमूल को खोजने के लिए कहा जाता है, उदाहरण के लिए,

आप जानते हैं कि 5 वर्ग 25 है और 6 वर्ग 36 है, इसलिए अंतिम परिणाम उसी के बीच में होगा। आप सिर्फ 5.5 कह सकते हैं। वह वास्तव में बहुत करीब है। यदि आपको अधिक सटीकता की आवश्यकता है, तो आप अपने परिणामों को कम करने के लिए थोड़ा कम और थोड़ी अधिक संख्याओं का अनुमान लगाते रहेंगे।

यदि आप सोच रहे हैं कि 30 का वर्गमूल क्या है, हालांकि, मैं कहूंगा कि यह लगभग 5.48 या तो, दो दशमलव अंकों के लिए गोल है।

आपको निश्चित रूप से सामान्य पूर्ण वर्गों को याद रखना चाहिए। एक पूर्ण वर्ग एक संख्या है जिसमें एक वर्गमूल होता है जो एक पूर्ण संख्या होती है। 30 एक पूर्ण वर्ग नहीं है क्योंकि इसकी वर्गमूल एक पूर्ण संख्या नहीं है, लेकिन 36 इसलिए है क्योंकि इसकी वर्गमूल संख्या 6 है, जो एक पूर्ण संख्या है।

मैं पहले तेरह या चौदह पूर्ण वर्गों की सूची दूंगा।

आप उच्च पूर्ण वर्ग पा सकते हैं यदि आप बस कैलकुलेटर में कुछ पूरे नंबर दर्ज करके चाहते हैं, तो इसे अपने आप से गुणा करें। यदि, उदाहरण के लिए, आप 16 का वर्ग ढूंढना चाहते थे,

तो आप इसे कैलकुलेटर में 16 से गुणा करेंगे और 256 प्राप्त करेंगे, जो कि एक पूर्ण वर्ग है, और इसी तरह … यह उच्चतर संख्या जैसे 65536 के साथ भी काम करता है, जहां वर्गमूल ऐसा होता है जो 256 होता है (हालाँकि आपको संख्याओं को याद करने की आवश्यकता नहीं है जो कि बहुत अधिक हैं)।

यह एक बहुत, बहुत, बहुत अच्छा विचार है कि सबसे आम सही वर्गों को याद किया जाए। संभवतः जब तक आप सूचीबद्ध न हों, तब तक आपको ऊपर के सही वर्ग खोजने की आवश्यकता नहीं है। 🙂

उदाहरण के लिए, 4 और ,4 16 की वर्गमूल हैं, क्योंकि 42 = (−4) 2 = 16 । प्रत्येक nonnegative वास्तविक संख्या x में एक अद्वितीय nonnegative वर्गमूल होता है, जिसे प्रिंसिपल स्क्वायर रूट कहा जाता है,

जिसे यह दर्शाया जाता है कि प्रतीक को मूल चिह्न या मूलांक कहा जाता है। उदाहरण के लिए, 9 का प्रमुख वर्गमूल 3 है, जिसे निरूपित किया जाता है क्योंकि 32 = 3 =3 = 9 और 3 निरर्थक है।Square Root of Numbers

 

वह शब्द (या संख्या) जिसका वर्गमूल माना जा रहा है उसे त्रिज्या के रूप में जाना जाता है। रेडिकैंड इस मामले में 9 के मूल अंक के नीचे की संख्या या अभिव्यक्ति है।

Square Root of Numbers

• √1 = 1
• √2 = 1.4142135623730951
• √3 = 1.7320508075688772
• √4 = 2
• √5 = 2.23606798
• √6 = 2.44948974
• √7 = 2.64575131
• √8 = 2.82842712
• √9 = 3
• √10 = 3.16227766
• √11 = 3.31662479
• √12 = 3.46410162
• √13 = 3.60555128
• √14 = 3.74165739
• √15 = 3.87298335
• √16 = 4
• √17 = 4.12310563
• √18 = 4.24264069
• √19 =4.35889894
• √20 = 4.47213595
• √21 = 4.58257569
• √22 = 4.69041576
• √23 = 4.79583152
• √24 = 4.89897949
• √25 = 5
• √26 = 5.09901951
• √27 = 5.19615242
• √28 = 5.29150262
• √29 = 5.38516481
• √30 =5.47722558
• √31 = 5.56776436
• √32 = 5.65685425
• √33 = 5.74456265
• √34 = 5.83095189
• √35 = 5.91607978
• √36 = 6
• √37 = 6.08276253
• √38 = 6.164414
• √39 = 6.244998
• √40 = 6.32455532
• √41 = 6.40312424
• √42 = 6.4807407
• √43 = 6.55743852
• √44 = 6.63324958
• √45 = 6.70820393
• √46 = 6.78232998
• √47 = 6.8556546
• √48 = 6.92820323
• √49 = 7
• √50 =7.07106781
• √51 = 7.14142843
• √52 = 7.21110255
• √53 = 7.28010989
• √54 = 7.3484692283495345
• √55 = 7.416198487095663
• √56 = 7.483314773547883
• √57 = 7.54983443527075
• √58 = 7.615773105863909
• √59 = 7.681145747868608
• √60 = 7.745966692414834
• √61 = 7.810249675906654
• √62=  7.874007874011811
• √63=  7.937253933193772
• √64=  8
• √65=  8.06225774829855
• √66=  8.12403840463596
• 67=    8.18535277187245
• √68=  8.246211251235321
• √69=  8.306623862918075
• √70=  8.366600265340756
• √71=  8.426149773176359
• √72 = 8.48528137423857
• √73=  8.54400374531753
• √74=  8.602325267042627
• √75=  8.660254037844387
• √76=  8.717797887081348
• √77=  8.774964387392123
• √78=  8.831760866327848
• √79=  8.888194417315589
• √80=  8.94427190999916
• √81=  9
• √82=  9.055385138137417
• √83=  9.1104335791443
• √84=  9.16515138991168
• √85=  9.219544457292887
• √86=  9.273618495495704
• √87=  9.327379053088816
• √88=  9.38083151964686
• √89=  9.433981132056603
• √90=  9.486832980505138
• √91=  9.539392014169456
• √92=  9.591663046625438
• √93=  9.643650760992955
• √94=  9.695359714832659
• √95=  9.746794344808963
• √96=  9.797958971132712
• √97=  9.848857801796104
• √98=  9.899494936611665
• √99=  9.9498743710662
• √100= 10
• √101= 10.04987562112089
• √102= 10.099504938362077
• √103= 10.14889156509222
• √104= 10.198039027185569
• √105= 10.24695060
• √106= 10.2956301
• √107= 10.340804
• √108= 10.3923048
• √109= 10.4403065
• √110= 10.4880885
• √111= 10.5356538
• √112= 10.5830052
• √113= 10.6301458
• √114= 10.6770783
• √115= 10.7238053
• √116= 10.7703296
• √117= 10.8166538
• √118= 10.8627805
• √119= 10.9087121
• √120= 10.9544512
• √121= 11
• √122= 11.045361
• √123= 11.0905365
• √124= 11.1355287
• √125= 11.1803399
• √126= 11.2249722
• √127= 11.2694279
• √128= 11.3137085
• √129= 11.3578167
• √130= 11.4017543
• √131= 11.4455231
• √132= 11.4891253
• √133= 11.5325626
• √134= 11.5758369
• √135= 11.61895
• √136= 11.661903789690601
• √137= 11.704699910719626
• √138= 11.74734012447073
• √139= 11.789826122551595
• √140= 11.832159566199232
• √141= 11.874342087037917
• √142= 11.916375287812984
• √143= 11.958260743101398
•  144  = 12
• √145= 12.041594578792296
• √146= 12.083045973594572
• √147= 12.12435565298214
• √148= 12.165525060596439
• √149= 12.206555615733702
• √150= 12.24744871391589
• √151= 12.288205727444508
• √152= 12.328828005937952
• √153= 12.36931687685298
• √154= 12.409673645990857
• √155= 12.449899597988733
• √156= 12.489995996796797
• √157= 12.529964086141668
• √158= 12.569805089976535
• √159= 12.609520212918492
• √160= 12.649110640673518
• √161= 12.68857754044952
• √162= 12.727922061357855
• √163= 12.767145334803704
• √164= 12.806248474865697
• √165= 12.84523257866513
• √166=  12.884098726725126
• √167=  12.922847983320086
• √168=  12.96148139681572
• √169=  13
• √170=  13.038404810405298
• √171=  13.076696830622021
• √172=  13.114877048604
• √173=  13.152946437965905
• √174=  13.19090595827292
• √175=  13.228756555322953
• √176=  13.2664991614216
• √177=  13.30413469565007
• √178=  13.341664064126334
• √179=  13.379088160259652
• √180=  13.416407864998739
• √181=  13.45362404707371
• √182=  13.490737563232042
• √183=  13.527749258468683
• √184=  13.564659966250536
• √185=  13.601470508735444
• √186=  13.638181696985855
• √187=  13.674794331177344
• √188=  13.711309200802088
• √189=  13.74772708486752
• √190=  13.784048752090222
• √191=  13.820274961085254
• √192=  13.856406460551018
• √193=  13.892443989449804
• √194=  13.92838827718412
• √195=  13.96424004376894
• √196=  14
• √197=  14.035668847618199
• √198=  14.071247279470288
• √199=  14.106735979665885
• √200=  14.142135623730951
• √201=  14.177446878757825
• √202=  14.212670403551895
• √203=  14.247806848775006
• √204=  14.2828568570857
• √205=  14.317821063276353
• √206 = 14.352700094407323
• √207= 14.38749456993816
• √208= 14.422205101855956
• √209= 14.45683229480096
• √210= 14.491376746189438
• √211= 14.52583904633395
• √212= 14.560219778561036
• √213= 14.594519519326424
• √214= 14.628738838327793
• √215= 14.66287829861518
• √216= 14.696938456699069
• √217= 14.730919862656235
• √218= 14.7648230602334
• √219= 14.798648586948742
• √220= 14.832396974191326
• √221= 14.866068747318506
• √222= 14.89966442575134
• √223= 14.933184523068078
• √224= 14.966629547095765
• √225= 15
• √226= 15.033296378372908
• √227= 15.066519173319364
• √228= 15.0996688705415
• √229= 15.132745950421556
• √230= 15.165750888103101
• √231= 15.198684153570664
• √232= 15.231546211727817
• √233= 15.264337522473747
• √234= 15.297058540778355
• √235= 15.329709716755891
• √236= 15.362291495737216
• √237= 15.394804318340652
• √238= 15.427248620541512
• √239= 15.459624833740307
• √240= 15.491933384829668
• √241= 15.524174696260024
• √242= 15.556349186104045
• √243= 15.588457268119896
• √244= 15.620499351813308
• √245= 15.652475842498529
• √246= 15.684387141358123
• √247= 15.716233645501712
• √248= 15.748015748023622
• √249= 15.7797338380595
• √250= 15.811388300841896
• √251= 15.84297951775486
• √252= 15.874507866387544
• √253= 15.905973720586866
• √254= 15.937377450509228
• √255= 15.968719422671311
• √256= 16
• √257= 16.0312195418814
• √258= 16.06237840420901
• √259= 16.09347693943108
• √260= 16.1245154965971
• √261= 16.15549442140351
• √262= 16.186414056238647
• √263= 16.217274740226856
• √264= 16.24807680927192
• √265= 16.278820596099706
• √266= 16.30950643030009
• √267= 16.34013463836819
• √268= 16.3707055437449
• √269= 16.401219466856727
• √270= 16.431676725154983
• √271= 16.46207763315433
• √272= 16.492422502470642
• √273= 16.522711641858304
• √274= 16.55294535724685
• √275= 16.583123951777
• √276= 16.61324772583615
• √277= 16.64331697709324
• √278= 16.673332000533065
• √279= 16.703293088490067
• √280= 16.73320053068151
• √281= 16.76305461424021
• √282= 16.792855623746664
• √283= 16.822603841260722
• √284= 16.852299546352718
• √285= 16.881943016134134
• √286= 16.911534525287763
• √287= 16.941074346097416
• √288= 16.97056274847714
• √289= 17
• √290= 17.029386365926403
• √291= 17.05872210923198
• √292= 17.08800749063506
• √293= 17.11724276862369
• √294= 17.146428199482248
• √295= 17.175564037317667
• √296= 17.204650534085253
• √297= 17.233687939614086
• √298= 17.26267650163207
• √299= 17.291616465790582
• √300= 17.320508075688775

दिव्यांगों का सिद्धांत

इस बिंदु पर, एक दिलचस्प विकास होता है, इसलिए, जब तक पूर्णांक के साथ केवल जोड़ और गुणा किया जाता है, जिसके परिणामस्वरूप संख्याएं अपरिवर्तनीय रूप से स्वयं पूर्णांक होती हैं – अर्थात, उनके पूर्ववृत्त के समान संख्या।

यह विशेषता बहुत तेजी से बदलती है, हालांकि, जैसे ही विभाजन पेश किया जाता है। प्रदर्शन विभाजन (इसका प्रतीक ÷, “” द्वारा विभाजित “पढ़ा जाता है) परिणामों की ओर जाता है, जिसे उद्धरणकर्ता या अंश कहा जाता है,

जिसमें आश्चर्यजनक रूप से एक नए प्रकार के नंबर शामिल होते हैं- अर्थात्, तर्कसंगत – पूर्णांक नहीं हैं। हालांकि, पूर्णांकों के संयोजन से उत्पन्न होने वाले, उपरोक्त रूप से स्वाभाविक रूप से संख्या और पूर्णांक अवधारणाओं के एक अलग विस्तार का गठन करते हैं।

डिवीजन ऑपरेशन के आवेदन के माध्यम से, प्राकृतिक संख्याओं का डोमेन पूर्णांकों से परे विस्तृत रूप से विस्तारित और समृद्ध हो जाता है (देखें परिमेय संख्याओं के नीचे)।

 

अपरिमेय संख्या

यह पाइथागोरस (प्राचीन ग्रीक गणितज्ञ पाइथागोरस के अनुयायियों) के लिए जाना जाता था, जो कि एक सीधी रेखा खंड ए और एक इकाई खंड यू को देखते हुए, एक भिन्नात्मक इकाई को खोजने के लिए हमेशा संभव नहीं होता है जैसे कि एक और यू दोनों इसके गुणक हैं ( incommensurables देखें)।

उदाहरण के लिए, यदि समद्विबाहु दाएं त्रिभुज की भुजाओं की लंबाई 1 है, तो पाइथागोरस प्रमेय द्वारा कर्ण की लंबाई एक वर्ग है जिसमें 2 होना चाहिए। लेकिन मौजूद कोई तर्कसंगत संख्या नहीं है जिसका वर्ग 2 है।Square Root of Numbers

प्लेटो के समकालीन, न्यूडस के यूडोक्सस ने तर्कसंगतताओं से परे संख्या का विस्तार करने के लिए आवश्यक तकनीक की स्थापना की। उनका योगदान, गणित के इतिहास में सबसे महत्वपूर्ण, यूक्लिड के तत्वों और अन्य जगहों में शामिल था, और फिर यह 19 वीं शताब्दी में जर्मनी में गणितीय विश्लेषण में विकास की आधुनिक अवधि तक निष्क्रिय रहा।

यह सहज ज्ञान युक्त आधार पर मानने की प्रथा है कि, प्रत्येक पंक्ति खंड और प्रत्येक इकाई लंबाई के अनुरूप, एक संख्या मौजूद होती है (जिसे सकारात्मक वास्तविक संख्या कहा जाता है) जो रेखा खंड की लंबाई का प्रतिनिधित्व करती है।

ऐसी सभी संख्याएँ तर्कसंगत नहीं हैं, लेकिन हर एक को तर्कसंगत रूप से निकटता से मनमाने ढंग से अनुमानित किया जा सकता है। अर्थात, यदि x एक धनात्मक वास्तविक संख्या है और any कोई धनात्मक परिमेय संख्या है – चाहे कितना भी छोटा हो – दो धनात्मक परिमेय संख्याओं का पता लगाना संभव है a और b एक दूसरे से ε की दूरी पर ऐसे कि x उनके बीच है; प्रतीकों में, किसी भी ε> 0 को देखते हुए, वहाँ सकारात्मक परिमेय संख्या a और b ऐसे हैं कि b – a <ε और <x x b। मेन्सुरेशन की समस्याओं में, अपरिमेय संख्याओं को आमतौर पर उपयुक्त परिमेय सन्निकटन द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है।